MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoameTeoria Mulțimilor
Fie inelul Z5[x]\mathbb{Z}_5[x] al polinoamelor cu coeficienți în Z5\mathbb{Z}_5 (întregii modulo 5). a) Arătați că Z5\mathbb{Z}_5 este un corp. b) Considerați polinomul f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2 în Z5[x]\mathbb{Z}_5[x]. Demonstrați că inelul cât Z5[x]/⟨f(x)⟩\mathbb{Z}_5[x] / \langle f(x) \rangle este un corp. c) Aflați numărul de elemente din acest corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se verifică axiomele corpului pentru Z5\mathbb{Z}_5: este inel comutativ cu unitate, și fiecare element nenul are invers (de exemplu, inversul lui 22 este 33 deoarece 2⋅3=6≡1(mod5)2 \cdot 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5}).
24 puncte
Se arată că f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2 este ireductibil peste Z5\mathbb{Z}_5 verificând că nu are rădăcini în Z5\mathbb{Z}_5: pentru x=0,1,2,3,4x = 0,1,2,3,4, f(x)f(x) ia valorile 2,3,1,1,32,3,1,1,3, toate nenule. Deci ⟨f(x)⟩\langle f(x) \rangle este ideal maximal, iar inelul cât este corp.
34 puncte
Elementele corpului sunt clasele de resturi modulo f(x)f(x), reprezentate prin polinoame de grad mai mic decât 22, de forma a+bxa + bx cu a,b∈Z5a, b \in \mathbb{Z}_5. Deci există 5⋅5=255 \cdot 5 = 25 de elemente.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.