MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(X)=X4−4X3+6X2−4X+5P(X) = X^4 - 4X^3 + 6X^2 - 4X + 5. Se știe că P(1+2i)=0P(1+2i)=0. Aflați toate rădăcinile complexe ale polinomului și descompuneți-l în factori ireductibili peste R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții polinomului sunt reali, dacă 1+2i1+2i este rădăcină, atunci și conjugata sa 1−2i1-2i este rădăcină. Astfel, polinomul este divizibil cu (X−(1+2i))(X−(1−2i))=X2−2X+5(X - (1+2i))(X - (1-2i)) = X^2 - 2X + 5.
23 puncte
Efectuăm împărțirea polinomului P(X)P(X) la X2−2X+5X^2 - 2X + 5 și obținem câtul X2−2X+1X^2 - 2X + 1.
33 puncte
Rezolvăm ecuația X2−2X+1=0X^2 - 2X + 1 = 0, care are rădăcina dublă X=1X=1. Deci, rădăcinile polinomului sunt 1+2i1+2i, 1−2i1-2i și 11 (cu multiplicitatea 2).
42 puncte
Descompunerea în factori ireductibili peste R\mathbb{R} este P(X)=(X2−2X+5)(X−1)2P(X) = (X^2 - 2X + 5)(X-1)^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.