MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatrici
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Demonstrați că MM este un inel comutativ cu unitate în raport cu adunarea și înmulțirea matricelor. Este MM un corp? În caz afirmativ, justificați; în caz negativ, determinați condițiile în care un element din MM este inversabil.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se verifică închiderea mulțimii MM față de adunare și înmulțire: pentru orice A,B∈MA, B \in M, cu A=(ab−ba)A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} și B=(cd−dc)B = \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix}, avem A+B=(a+cb+d−(b+d)a+c)∈MA+B = \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -(b+d) & a+c \end{pmatrix} \in M și A⋅B=(ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd)∈MA \cdot B = \begin{pmatrix} ac-bd & ad+bc \\ -(ad+bc) & ac-bd \end{pmatrix} \in M. Se arată că adunarea este asociativă și comutativă.
23 puncte
Se identifică elementul neutru la adunare, 0M=(0000)0_M = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, și se demonstrează existența opusului: pentru AA, opusul este −A=(−a−bb−a)∈M-A = \begin{pmatrix} -a & -b \\ b & -a \end{pmatrix} \in M. Se verifică distributivitatea înmulțirii față de adunare: A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅CA \cdot (B+C) = A \cdot B + A \cdot C și (B+C)⋅A=B⋅A+C⋅A(B+C) \cdot A = B \cdot A + C \cdot A.
32 puncte
Se arată că înmulțirea este comutativă în MM: A⋅B=B⋅AA \cdot B = B \cdot A, și se identifică elementul unitate, 1M=(1001)∈M1_M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M.
42 puncte
MM nu este corp deoarece există elemente nenule care nu sunt inversabile. Un element A=(ab−ba)A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} este inversabil dacă și numai dacă determinantul său det⁡(A)=a2+b2≠0\det(A) = a^2 + b^2 \neq 0, adică (a,b)≠(0,0)(a,b) \neq (0,0). În acest caz, inversul este A−1=1a2+b2(a−bba)A^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, care aparține lui MM.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.