MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x4+ax3+bx2+cx+dP(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d cu coeficienți reali. Știind că 1+i1+i este rădăcină a polinomului, P(1)=10P(1) = 10 și P′(1)=20P'(1) = 20, determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, rădăcina complexă 1+i1+i implică că și conjugata sa 1−i1-i este rădăcină.
22 puncte
Formăm polinomul de gradul 2 cu rădăcinile 1+i1+i și 1−i1-i: (x−(1+i))(x−(1−i))=x2−2x+2(x - (1+i))(x - (1-i)) = x^2 - 2x + 2.
32 puncte
Scriem P(x)P(x) ca produs: P(x)=(x2−2x+2)(x2+px+q)P(x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + px + q), unde pp și qq sunt numere reale.
42 puncte
Din condițiile P(1)=10P(1)=10 și P′(1)=20P'(1)=20, obținem ecuațiile: (12−2⋅1+2)(12+p⋅1+q)=10(1^2 - 2\cdot1 + 2)(1^2 + p\cdot1 + q) = 10 și calculăm P′(x)P'(x) evaluat la x=1x=1.
52 puncte
Rezolvăm sistemul de ecuații pentru pp și qq, apoi expandăm produsul pentru a determina a,b,c,da, b, c, d.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.