MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameSisteme de Ecuații Neliniare
Se consideră polinoamele P(x)P(x) și Q(x)Q(x) de gradul 2 cu coeficienți reali. Determinați P(x)P(x) și Q(x)Q(x) știind că pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} avem: P(x)+Q(x)=2x2+3x+1P(x) + Q(x) = 2x^2 + 3x + 1 și P(x)⋅Q(x)=(x2+x+1)2P(x) \cdot Q(x) = (x^2 + x + 1)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Observăm că P(x)P(x) și Q(x)Q(x) sunt rădăcinile ecuației t2−(P(x)+Q(x))t+P(x)Q(x)=0t^2 - (P(x)+Q(x))t + P(x)Q(x) = 0, adică t2−(2x2+3x+1)t+(x2+x+1)2=0t^2 - (2x^2+3x+1)t + (x^2+x+1)^2 = 0.
23 puncte
Calculăm discriminantul: Δ=(2x2+3x+1)2−4(x2+x+1)2\Delta = (2x^2+3x+1)^2 - 4(x^2+x+1)^2.
33 puncte
Simplificăm Δ\Delta: (2x2+3x+1)2−4(x2+x+1)2=(2x2+3x+1−2(x2+x+1))(2x2+3x+1+2(x2+x+1))=(x−1)(4x2+5x+3)(2x^2+3x+1)^2 - 4(x^2+x+1)^2 = (2x^2+3x+1 - 2(x^2+x+1))(2x^2+3x+1 + 2(x^2+x+1)) = (x-1)(4x^2+5x+3). Astfel, Δ=(x−1)(4x2+5x+3)\Delta = (x-1)(4x^2+5x+3).
42 puncte
Rădăcinile sunt t=2x2+3x+1±(x−1)(4x2+5x+3)2t = \frac{2x^2+3x+1 \pm \sqrt{(x-1)(4x^2+5x+3)}}{2}. Pentru ca P(x)P(x) și Q(x)Q(x) să fie polinoame de gradul 2, alegem semnul astfel încât (x−1)(4x2+5x+3)\sqrt{(x-1)(4x^2+5x+3)} să fie un polinom. Notând (x−1)(4x2+5x+3)=(x−1)R(x)\sqrt{(x-1)(4x^2+5x+3)} = (x-1)R(x) și rezolvând, obținem P(x)=x2+2x+1P(x) = x^2 + 2x + 1 și Q(x)=x2+x+1Q(x) = x^2 + x + 1 (sau invers).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.