MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Polinomul P(X)=X3+pX2+qX+rP(X) = X^3 + pX^2 + qX + r are rădăcinile în progresie aritmetică. Dacă P(2)=10P(2)=10 și produsul rădăcinilor este -6, determinați coeficienții p,q,rp, q, r și rădăcinile polinomului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Fie rădăcinile a−d,a,a+da-d, a, a+d. Din relațiile lui Viète: suma rădăcinilor 3a=−p3a = -p, deci p=−3ap = -3a; suma produselor câte două 3a2−d2=q3a^2 - d^2 = q; produsul rădăcinilor a(a2−d2)=−6a(a^2 - d^2) = -6.
23 puncte
Din P(2)=10P(2)=10, avem 8+4p+2q+r=108 + 4p + 2q + r = 10. Dar pentru polinomul dat, produsul rădăcinilor este −r-r, deci −r=−6-r = -6, adică r=6r=6. Înlocuind, obținem 4p+2q=−44p + 2q = -4, sau 2p+q=−22p + q = -2.
33 puncte
Înlocuim p=−3ap = -3a și q=3a2−d2q = 3a^2 - d^2 în 2p+q=−22p + q = -2: 2(−3a)+3a2−d2=−22(-3a) + 3a^2 - d^2 = -2, deci 3a2−6a−d2=−23a^2 - 6a - d^2 = -2. Din produsul rădăcinilor, a2−d2=−6/aa^2 - d^2 = -6/a. Rezolvând sistemul, obținem a3−3a2+a−3=0a^3 - 3a^2 + a - 3 = 0, care se factorizează ca (a−3)(a2+1)=0(a-3)(a^2+1)=0, deci a=3a=3 (rădăcini reale). Atunci d2=3a2−6a+2=27−18+2=11d^2 = 3a^2 - 6a + 2 = 27 - 18 + 2 = 11, deci d=±11d = \pm\sqrt{11}. Rădăcinile: 3−11,3,3+113-\sqrt{11}, 3, 3+\sqrt{11}. Coeficienții: p=−9p = -9, q=16q = 16, r=6r = 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.