MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorSisteme de Ecuații LiniareFuncția de gradul al II-lea
Se consideră funcția f:[0,2]→Rf: [0,2] \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Știind că ∫01f(x)dx=2\int_0^1 f(x) dx = 2, ∫12f(x)dx=5\int_1^2 f(x) dx = 5, și ∫02f(x)dx=10\int_0^2 f(x) dx = 10, determinați coeficienții a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează ∫01f(x)dx=∫01(ax2+bx+c)dx=[a3x3+b2x2+cx]01=a3+b2+c=2\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 (ax^2 + bx + c) dx = \left[ \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx \right]_0^1 = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = 2.
23 puncte
Se calculează ∫12f(x)dx=[a3x3+b2x2+cx]12=(8a3+2b+2c)−(a3+b2+c)=7a3+3b2+c=5\int_1^2 f(x) dx = \left[ \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx \right]_1^2 = \left( \frac{8a}{3} + 2b + 2c \right) - \left( \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c \right) = \frac{7a}{3} + \frac{3b}{2} + c = 5.
34 puncte
Se calculează ∫02f(x)dx=[a3x3+b2x2+cx]02=8a3+2b+2c=10\int_0^2 f(x) dx = \left[ \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx \right]_0^2 = \frac{8a}{3} + 2b + 2c = 10. Se rezolvă sistemul de ecuații: {a3+b2+c=27a3+3b2+c=58a3+2b+2c=10\begin{cases} \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = 2 \\ \frac{7a}{3} + \frac{3b}{2} + c = 5 \\ \frac{8a}{3} + 2b + 2c = 10 \end{cases}. Din prima și a treia ecuație, sau prin metode algebrice, se obține a=3a = 3, b=−2b = -2, c=2c = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.