MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: log⁡x2+log⁡4x=52\log_x 2 + \log_4 x = \frac{5}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Stabilim condițiile de existență: x>0x > 0 și x≠1x \neq 1.
22 puncte
Folosim schimbarea bazei: log⁡x2=1log⁡2x\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} și log⁡4x=log⁡2x2\log_4 x = \frac{\log_2 x}{2}.
32 puncte
Notăm t=log⁡2xt = \log_2 x. Ecuația devine: 1t+t2=52\frac{1}{t} + \frac{t}{2} = \frac{5}{2}.
42 puncte
Rezolvăm ecuația: 1t+t2=52⇒2+t2=5t⇒t2−5t+2=0\frac{1}{t} + \frac{t}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2 + t^2 = 5t \Rightarrow t^2 - 5t + 2 = 0.
52 puncte
Soluțiile pentru tt sunt t=5±172t = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}. Atunci x=2tx = 2^t. Verificăm că x>0x > 0 și x≠1x \neq 1 pentru ambele valori, deci soluțiile sunt x=25+172x = 2^{\frac{5 + \sqrt{17}}{2}} și x=25−172x = 2^{\frac{5 - \sqrt{17}}{2}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.