MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x)=x^3+ax^2+bx+c cu coeficienți reali. Știind că 1+2i1+2i este o rădăcină a lui P(x)P(x) și că P(1)=10P(1)=10, determinați aa, bb, cc și găsiți celelalte rădăcini.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă 1+2i1+2i este rădăcină, atunci și conjugata sa 1−2i1-2i este rădăcină.
23 puncte
Scriem polinomul în formă factorizată: P(x)=(x−(1+2i))(x−(1−2i))(x−r)=(x2−2x+5)(x−r)P(x)=(x-(1+2i))(x-(1-2i))(x-r)= (x^2-2x+5)(x-r), unde rr este a treia rădăcină reală.
33 puncte
Expandăm: P(x)=x3−(r+2)x2+(2r+5)x−5rP(x)=x^3 - (r+2)x^2 + (2r+5)x - 5r. Comparând cu P(x)=x3+ax2+bx+cP(x)=x^3+ax^2+bx+c, obținem a=−(r+2)a=-(r+2), b=2r+5b=2r+5, c=−5rc=-5r.
42 puncte
Folosim condiția P(1)=10P(1)=10: P(1)=1−(r+2)+(2r+5)−5r=4−4r=10⇒−4r=6⇒r=−32P(1)=1 - (r+2) + (2r+5) - 5r = 4 -4r = 10 \Rightarrow -4r = 6 \Rightarrow r = -\frac{3}{2}. Apoi, a=−(−32+2)=−12a= -(-\frac{3}{2}+2) = -\frac{1}{2}, b=2(−32)+5=2b=2(-\frac{3}{2})+5 = 2, c=−5(−32)=152c=-5(-\frac{3}{2})=\frac{15}{2}. Rădăcinile sunt 1+2i1+2i, 1−2i1-2i și r=−32r=-\frac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.