MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră polinomul P(x)=x4+1P(x) = x^4 + 1. Determinați toate rădăcinile complexe ale acestuia și calculați suma puterilor a patra ale rădăcinilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem ecuația x4+1=0x^4 + 1 = 0, deci x4=−1x^4 = -1. Exprimăm −1-1 în forma trigonometrică: −1=cos⁡π+isin⁡π-1 = \cos \pi + i \sin \pi. Rădăcinile de ordinul 4 sunt xk=cos⁡π+2kπ4+isin⁡π+2kπ4x_k = \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4} pentru k=0,1,2,3k=0,1,2,3.
23 puncte
Calculăm valorile explicit: x0=cos⁡π4+isin⁡π4=22+i22x_0 = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}, x1=cos⁡3π4+isin⁡3π4=−22+i22x_1 = \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}, x2=cos⁡5π4+isin⁡5π4=−22−i22x_2 = \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}, x3=cos⁡7π4+isin⁡7π4=22−i22x_3 = \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}.
32 puncte
Suma puterilor a patra: pentru fiecare rădăcină xkx_k, avem xk4=−1x_k^4 = -1, deci suma este x04+x14+x24+x34=4×(−1)=−4x_0^4 + x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 = 4 \times (-1) = -4.
42 puncte
Enunțăm rezultatul final: suma puterilor a patra ale rădăcinilor este −4-4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.