MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteStudiul funcțiilor
Demonstrați că pentru orice a>0a > 0, are loc egalitatea ∫−aax21+exdx=∫0ax2dx\int_{-a}^{a} \frac{x^2}{1+e^x} dx = \int_{0}^{a} x^2 dx. Utilizați proprietăți ale integralelor definite.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Împărțiți integrala și faceți schimbarea de variabilă. Fie I=∫−aax21+exdxI = \int_{-a}^{a} \frac{x^2}{1+e^x} dx. Atunci I=∫−a0x21+exdx+∫0ax21+exdxI = \int_{-a}^{0} \frac{x^2}{1+e^x} dx + \int_{0}^{a} \frac{x^2}{1+e^x} dx. Pentru prima integrală, faceți schimbarea t=−xt = -x, deci x=−tx = -t, dx=−dtdx = -dt, cu limitele: când x=−ax=-a, t=at=a; când x=0x=0, t=0t=0. Obținem ∫−a0x21+exdx=∫a0(−t)21+e−t(−dt)=∫0at21+e−tdt\int_{-a}^{0} \frac{x^2}{1+e^x} dx = \int_{a}^{0} \frac{(-t)^2}{1+e^{-t}} (-dt) = \int_{0}^{a} \frac{t^2}{1+e^{-t}} dt.
23 puncte
Simplificați expresia. t21+e−t=t21+1et=t2et+1et=t2et1+et\frac{t^2}{1+e^{-t}} = \frac{t^2}{1 + \frac{1}{e^t}} = \frac{t^2}{\frac{e^t + 1}{e^t}} = \frac{t^2 e^t}{1+e^t}.
33 puncte
Combinați integralele și deduceți. I=∫0at2et1+etdt+∫0ax21+exdx=∫0a(t2et1+et+t21+et)dt=∫0at2(et+1)1+etdt=∫0at2dt=∫0ax2dxI = \int_{0}^{a} \frac{t^2 e^t}{1+e^t} dt + \int_{0}^{a} \frac{x^2}{1+e^x} dx = \int_{0}^{a} \left( \frac{t^2 e^t}{1+e^t} + \frac{t^2}{1+e^t} \right) dt = \int_{0}^{a} \frac{t^2 (e^t + 1)}{1+e^t} dt = \int_{0}^{a} t^2 dt = \int_{0}^{a} x^2 dx.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.