MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere RealeGeometrie Analitică
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}, a≠0a \neq 0. Știind că punctele A(1,2)A(1,2) și B(2,5)B(2,5) aparțin graficului funcției și că ff are minimul egal cu 1, determinați coeficienții aa, bb, și cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem condițiile din apartenența punctelor: f(1)=2f(1)=2 și f(2)=5f(2)=5, adică a+b+c=2a+b+c=2 și 4a+2b+c=54a+2b+c=5.
23 puncte
Funcția este de gradul al II-lea cu a≠0a \neq 0; are minim deoarece a>0a>0 (dat de valoarea minimă pozitivă). Minimul se atinge în xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a} și este f(xv)=1f(x_v)=1.
33 puncte
Din f(−b2a)=1f\left(-\frac{b}{2a}\right)=1, obținem ecuația: a(−b2a)2+b(−b2a)+c=1a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c = 1, care se simplifică la c−b24a=1c - \frac{b^2}{4a} = 1.
42 puncte
Rezolvăm sistemul: {a+b+c=24a+2b+c=5c−b24a=1\begin{cases} a+b+c=2 \\ 4a+2b+c=5 \\ c - \frac{b^2}{4a} = 1 \end{cases}. Substituind sau scăzând ecuațiile, găsim a=1a=1, b=0b=0, c=1c=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.