MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaEcuații iraționale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x2−2mx+m2+m−1f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + m - 1, unde mm este un parametru real. Determinați mm astfel încât valoarea minimă a funcției ff să fie egală cu −14-\frac{1}{4}. Pentru valoarea găsită a lui mm, rezolvați ecuația f(x)=x−m\sqrt{f(x)} = x - m.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Scriem funcția în formă canonică: f(x)=(x−m)2+m−1f(x) = (x-m)^2 + m-1, deci valoarea minimă este m−1m-1.
21 punct
Punem condiția m−1=−14m-1 = -\frac{1}{4}, de unde m=34m = \frac{3}{4}.
32 puncte
Pentru m=34m=\frac{3}{4}, avem f(x)=x2−32x+516f(x) = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{16}.
42 puncte
Pentru ecuația f(x)=x−34\sqrt{f(x)} = x - \frac{3}{4}, impunem condițiile: f(x)≥0f(x) \geq 0 și x−34≥0x - \frac{3}{4} \geq 0.
52 puncte
Rezolvăm f(x)≥0f(x) \geq 0: ecuația x2−32x+516=0x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{16} = 0 are discriminantul Δ=1\Delta = 1, rădăcinile x1=14x_1 = \frac{1}{4} și x2=54x_2 = \frac{5}{4}, deci f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru x≤14x \leq \frac{1}{4} sau x≥54x \geq \frac{5}{4}. Condiția x≥34x \geq \frac{3}{4} combinată dă x≥54x \geq \frac{5}{4}.
61 punct
Ridicăm la pătrat: f(x)=(x−34)2f(x) = (x - \frac{3}{4})^2, obținem x2−32x+516=x2−32x+916x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{16} = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}, deci 516=916\frac{5}{16} = \frac{9}{16}, contradicție. Așadar, ecuația nu are soluții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.