MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciNumere Complexe
Fie mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(a−bba), a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, \, a,b \in \mathbb{R} \}. Arată că MM este inel comutativ față de adunarea și înmulțirea matricelor. Demonstrează că MM este corp izomorf cu corpul numerelor complexe C\mathbb{C}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Verificarea că MM este parte stabilă la adunare și înmulțire: pentru A1=(a1−b1b1a1)A_1 = \begin{pmatrix} a_1 & -b_1 \\ b_1 & a_1 \end{pmatrix} și A2=(a2−b2b2a2)A_2 = \begin{pmatrix} a_2 & -b_2 \\ b_2 & a_2 \end{pmatrix}, A1+A2=(a1+a2−(b1+b2)b1+b2a1+a2)∈MA_1 + A_2 = \begin{pmatrix} a_1+a_2 & -(b_1+b_2) \\ b_1+b_2 & a_1+a_2 \end{pmatrix} \in M și A1⋅A2=(a1a2−b1b2−(a1b2+b1a2)a1b2+b1a2a1a2−b1b2)∈MA_1 \cdot A_2 = \begin{pmatrix} a_1a_2 - b_1b_2 & -(a_1b_2 + b_1a_2) \\ a_1b_2 + b_1a_2 & a_1a_2 - b_1b_2 \end{pmatrix} \in M. Adunarea este asociativă, comutativă, are element neutru (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și opuse.
24 puncte
Verificarea proprietăților înmulțirii: asociativitate, distributivitate față de adunare, și existența elementului neutru I=(1001)∈MI = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M. Înmulțirea este comutativă în MM, deoarece A1⋅A2=A2⋅A1A_1 \cdot A_2 = A_2 \cdot A_1 din calcul.
32 puncte
Demonstrarea că fiecare element nenul din MM are invers: pentru A=(a−bba)≠0A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \neq 0, det⁡(A)=a2+b2≠0\det(A) = a^2 + b^2 \neq 0, deci inversa este A−1=1a2+b2(ab−ba)∈MA^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \in M. Izomorfismul cu C\mathbb{C} se definește prin ϕ:C→M\phi : \mathbb{C} \to M, ϕ(a+bi)=(a−bba)\phi(a+bi) = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, care este bijectiv și păstrează adunarea și înmulțirea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.