MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere ComplexeTrigonometrie
Arătați că mulțimea H={z∈C∣∣z∣=1}H = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} cu operația de înmulțire a numerelor complexe formează un grup. Determinați elementul neutru și inversul unui element. Calculați ordinul elementului z=eiπ/3z = e^{i\pi/3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru z,w∈Hz, w \in H, ∣z∣=1|z| = 1, ∣w∣=1|w| = 1, atunci ∣zw∣=∣z∣∣w∣=1|zw| = |z||w| = 1, deci zw∈Hzw \in H.
21 punct
Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea numerelor complexe.
32 puncte
Elementul neutru este 11, deoarece ∣1∣=1|1| = 1 și pentru orice z∈Hz \in H, z⋅1=zz \cdot 1 = z.
42 puncte
Inversul lui z∈Hz \in H este zˉ\bar{z}, deoarece ∣zˉ∣=∣z∣=1|\bar{z}| = |z| = 1 și zzˉ=∣z∣2=1z \bar{z} = |z|^2 = 1.
53 puncte
Pentru z=eiπ/3z = e^{i\pi/3}, avem zn=einπ/3z^n = e^{i n \pi/3}. zn=1z^n = 1 dacă și numai dacă einπ/3=1e^{i n \pi/3} = 1, adică nπ/3=2kπn \pi/3 = 2k\pi pentru k∈Zk \in \mathbb{Z}. Cel mai mic n∈N∗n \in \mathbb{N}^* este n=6n=6, deci ordinul lui zz este 66.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.