MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiSisteme de Ecuații NeliniareEcuații logaritmice
Rezolvați în mulțimea numerelor reale pozitive sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡4(y)=3x2+y=20\begin{cases} \log_2(x) + \log_4(y) = 3 \\ x^2 + y = 20 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Scrierea log⁡4(y)\log_4(y) în baza 2: log⁡4(y)=log⁡2(y)2\log_4(y) = \frac{\log_2(y)}{2}.
22 puncte
Obținerea ecuației log⁡2(x2y)=6\log_2(x^2 y) = 6 prin înmulțirea cu 2 și aplicarea proprietăților logaritmilor.
31 punct
Transformarea în ecuația algebrică x2y=64x^2 y = 64.
42 puncte
Introducerea substituției u=x2u = x^2 și rezolvarea sistemului liniar {uy=64u+y=20\begin{cases} u y = 64 \\ u + y = 20 \end{cases}, obținând u2−20u+64=0u^2 - 20u + 64 = 0.
52 puncte
Găsirea soluțiilor u=16,y=4u=16, y=4 și u=4,y=16u=4, y=16, deci x=4,y=4x=4, y=4 și x=2,y=16x=2, y=16.
61 punct
Verificarea condițiilor de existență: x>0,y>0x>0, y>0, ceea ce este satisfăcut.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.