MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie G=R∖{1}G = \mathbb{R} \setminus \{1\} și legea de compoziție ∗* definită prin x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy pentru orice x,y∈Gx,y \in G. Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm închiderea: pentru x,y∈Gx,y \in G, x∗y=x+y−xyx*y = x+y-xy. Presupunem prin absurd că x∗y=1x*y=1, atunci x+y−xy=1⇒(x−1)(1−y)=0x+y-xy=1 \Rightarrow (x-1)(1-y)=0, deci x=1x=1 sau y=1y=1, contrazicând x,y∈Gx,y \in G. Așadar, x∗y∈Gx*y \in G.\n
23 puncte
Asociativitatea: pentru x,y,z∈Gx,y,z \in G, (x∗y)∗z=(x+y−xy)∗z=x+y−xy+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x*y)*z = (x+y-xy)*z = x+y-xy+z-(x+y-xy)z = x+y+z-xy-xz-yz+xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z−yz)=x+y+z−yz−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx*(y*z) = x*(y+z-yz) = x+y+z-yz-x(y+z-yz) = x+y+z-yz-xy-xz+xyz, deci (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x*y)*z = x*(y*z).\n
32 puncte
Elementul neutru: căutăm e∈Ge \in G astfel încât x∗e=xx*e=x pentru orice x∈Gx \in G. x∗e=x+e−xe=x⇒e(1−x)=0x*e = x+e-xe = x \Rightarrow e(1-x)=0, deci e=0e=0. Verificăm: 0∈G0 \in G și x∗0=x+0−x⋅0=xx*0 = x+0-x\cdot0 = x.\n
42 puncte
Elementul simetric: pentru x∈Gx \in G, căutăm x′∈Gx' \in G astfel încât x∗x′=0x*x'=0. x∗x′=x+x′−xx′=0⇒x′(1−x)=−x⇒x′=xx−1x*x' = x+x'-xx' = 0 \Rightarrow x'(1-x) = -x \Rightarrow x' = \frac{x}{x-1}. Deoarece x≠1x \neq 1, x′∈Rx' \in \mathbb{R}, și dacă x′=1x'=1, atunci xx−1=1⇒x=x−1⇒0=−1\frac{x}{x-1}=1 \Rightarrow x=x-1 \Rightarrow 0=-1, imposibil. Așadar, x′∈Gx' \in G și x∗x′=0x*x'=0. Comutativitatea: x∗y=x+y−xy=y+x−yx=y∗xx*y = x+y-xy = y+x-yx = y*x.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.