MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameDerivateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se dă polinomul P(X)=2X4−5X3+3X2+X−1P(X) = 2X^4 - 5X^3 + 3X^2 + X - 1. Verificați dacă X=1X=1 este o rădăcină a polinomului. Apoi, determinați restul împărțirii polinomului P(X)P(X) la (X−1)2(X-1)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculăm P(1)=2(1)4−5(1)3+3(1)2+1−1=2−5+3+1−1=0P(1) = 2(1)^4 - 5(1)^3 + 3(1)^2 + 1 - 1 = 2 - 5 + 3 + 1 - 1 = 0, deci X=1X=1 este rădăcină.
25 puncte
Scriem restul împărțirii sub forma R(X)=AX+BR(X) = AX + B, unde AA și BB sunt constante reale. Folosim condițiile: P(1)=R(1)P(1) = R(1) și P′(1)=R′(1)P'(1) = R'(1). Calculăm P′(X)=8X3−15X2+6X+1P'(X) = 8X^3 - 15X^2 + 6X + 1, deci P′(1)=8−15+6+1=0P'(1) = 8 - 15 + 6 + 1 = 0. Astfel, R(1)=A+B=0R(1) = A + B = 0 și R′(1)=A=0R'(1) = A = 0.
32 puncte
Rezolvăm sistemul: A+B=0A + B = 0 și A=0A = 0, de unde A=0A = 0 și B=0B = 0.
41 punct
Restul este R(X)=0R(X) = 0, deci P(X)P(X) este divizibil cu (X−1)2(X-1)^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.