MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații Neliniare
Să se rezolve sistemul de ecuații: {log⁡2x+log⁡3y=3log⁡2y+log⁡3x=4\begin{cases} \log_2 x + \log_3 y = 3 \\ \log_2 y + \log_3 x = 4 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție: x>0x > 0, y>0y > 0, x≠1x \neq 1, y≠1y \neq 1.
23 puncte
Aplicarea proprietăților logaritmilor: log⁡3y=log⁡2ylog⁡23\log_3 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 3} și log⁡3x=log⁡2xlog⁡23\log_3 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 3}. Notăm u=log⁡2xu = \log_2 x, v=log⁡2yv = \log_2 y. Sistemul devine: {u+vlog⁡23=3v+ulog⁡23=4\begin{cases} u + \frac{v}{\log_2 3} = 3 \\ v + \frac{u}{\log_2 3} = 4 \end{cases}.
33 puncte
Rezolvarea sistemului liniar în uu și vv: din prima ecuație, u=3−vlog⁡23u = 3 - \frac{v}{\log_2 3}; înlocuind în a doua, se obține v+3−vlog⁡23log⁡23=4v + \frac{3 - \frac{v}{\log_2 3}}{\log_2 3} = 4, de unde se calculează vv, apoi uu. Rezultă x=2ux = 2^u, y=2vy = 2^v.
42 puncte
Verificarea că soluțiile obținute satisfac condițiile de domeniu.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.