MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiMatematică aplicată
O populație crește exponențial conform modelului P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde tt este timpul în ani. După 3 ani, populația este de 8000, iar după 6 ani este de 32000. Folosind logaritmi naturali, să se determine P0P_0 și kk.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrierea ecuațiilor pe baza datelor: P0e3k=8000P_0 e^{3k} = 8000 și P0e6k=32000P_0 e^{6k} = 32000.
24 puncte
Împărțirea celei de-a doua ecuații la prima: P0e6kP0e3k=320008000⇒e3k=4\frac{P_0 e^{6k}}{P_0 e^{3k}} = \frac{32000}{8000} \Rightarrow e^{3k} = 4. Aplicarea logaritmului natural: 3k=ln⁡4⇒k=ln⁡433k = \ln 4 \Rightarrow k = \frac{\ln 4}{3}.
33 puncte
Substituirea lui kk în prima ecuație: P0e3⋅ln⁡43=P0eln⁡4=P0⋅4=8000⇒P0=2000P_0 e^{3 \cdot \frac{\ln 4}{3}} = P_0 e^{\ln 4} = P_0 \cdot 4 = 8000 \Rightarrow P_0 = 2000.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.