MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}M = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu operațiile de adunare și înmulțire uzuale. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Este acest inel un corp? Justificați.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificați că (M,+)(M, +) este grup abelian (închidere: suma a două elemente din MM rămâne în MM; asociativitate: adunarea este asociativă în R\mathbb{R}; element neutru: 0=0+02∈M0 = 0 + 0\sqrt{2} \in M; element simetric: pentru a+b2a+b\sqrt{2}, simetricul este −a−b2∈M-a-b\sqrt{2} \in M).
22 puncte
Arătați că înmulțirea este asociativă (din asociativitatea în R\mathbb{R}) și are element neutru 1=1+02∈M1 = 1 + 0\sqrt{2} \in M.
32 puncte
Verificați distributivitatea înmulțirii față de adunare, folosind proprietățile operațiilor în R\mathbb{R}.
42 puncte
Concluzionați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este inel comutativ (înmulțirea este comutativă deoarece 2\sqrt{2} comută cu numerele întregi).
52 puncte
Pentru a verifica dacă este corp, luați un element nenul x=a+b2≠0x = a+b\sqrt{2} \neq 0 și căutați inversul multiplicativ y=c+d2y = c+d\sqrt{2} astfel încât xy=1xy=1. Rezolvând sistemul, obțineți c=aa2−2b2c = \frac{a}{a^2-2b^2}, d=−ba2−2b2d = \frac{-b}{a^2-2b^2}, care sunt în Q\mathbb{Q} dar nu neapărat în Z\mathbb{Z}, deci inversul nu este întotdeauna în MM. Astfel, MM nu este corp deoarece există elemente nenule fără invers în MM (e.g., 2∈M2 \in M nu are invers în MM).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.