MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciPolinoame
Fie mulțimea matricelor pătratice de ordinul 2 cu elemente reale, notată M2(R)M_2(\mathbb{R}). a) Arătați că (M2(R),+,⋅)(M_2(\mathbb{R}), +, \cdot) este un inel. Este acest inel comutativ? b) Considerați submulțimea GL2(R)GL_2(\mathbb{R}) a matricelor inversabile din M2(R)M_2(\mathbb{R}). Este GL2(R)GL_2(\mathbb{R}) un corp față de adunarea și înmulțirea matricelor? c) Pentru matricea A=(1201)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, determinați polinomul minimal peste R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Verificarea axiomelor inelului pentru M2(R)M_2(\mathbb{R}): adunarea și înmulțirea matricelor sunt operații interne; adunarea este asociativă, comutativă, cu element neutru matricea zero și opuse; înmulțirea este asociativă, dar nu comutativă (exemplu: (1000)(0100)≠(0100)(1000)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}); proprietatea de distributivitate; există element neutru pentru înmulțire (matricea identitate). Deci M2(R)M_2(\mathbb{R}) este un inel necomutativ cu unitate.
23 puncte
Mulțimea GL2(R)GL_2(\mathbb{R}) nu este închisă la adunare. De exemplu, matricele I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și −I=(−100−1)-I = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} sunt inversabile, dar suma lor I+(−I)=(0000)I + (-I) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} nu este inversabilă. Prin urmare, GL2(R)GL_2(\mathbb{R}) nu poate fi un inel sau un corp față de adunare și înmulțire.
33 puncte
Polinomul caracteristic al matricei AA este det⁡(A−λI)=det⁡(1−λ201−λ)=(1−λ)2\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)^2. Deoarece AA nu este scalară (nu este multiplu al matricei identitate), polinomul minimal coincide cu polinomul caracteristic, adică (λ−1)2(\lambda - 1)^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.