MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciGeometrie Analitică
Fie G={Aθ=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)∣θ∈R}G = \left\{ A_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \mid \theta \in \mathbb{R} \right\}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup abelian, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice θ1,θ2∈R\theta_1, \theta_2 \in \mathbb{R}, Aθ1⋅Aθ2=Aθ1+θ2A_{\theta_1} \cdot A_{\theta_2} = A_{\theta_1 + \theta_2}, care este în G, deoarece θ1+θ2∈R\theta_1 + \theta_2 \in \mathbb{R}.\n
22 puncte
Asociativitatea: înmulțirea matricelor este asociativă, deci pentru orice Aθ1,Aθ2,Aθ3∈GA_{\theta_1}, A_{\theta_2}, A_{\theta_3} \in G, (Aθ1⋅Aθ2)⋅Aθ3=Aθ1⋅(Aθ2⋅Aθ3)(A_{\theta_1} \cdot A_{\theta_2}) \cdot A_{\theta_3} = A_{\theta_1} \cdot (A_{\theta_2} \cdot A_{\theta_3}).\n
32 puncte
Elementul neutru: A0=(1001)∈GA_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G și Aθ⋅A0=AθA_\theta \cdot A_0 = A_\theta pentru orice θ∈R\theta \in \mathbb{R}.\n
43 puncte
Elementul simetric: pentru orice Aθ∈GA_\theta \in G, A−θ∈GA_{-\theta} \in G și Aθ⋅A−θ=A0A_\theta \cdot A_{-\theta} = A_0. Comutativitatea: Aθ1⋅Aθ2=Aθ1+θ2=Aθ2+θ1=Aθ2⋅Aθ1A_{\theta_1} \cdot A_{\theta_2} = A_{\theta_1 + \theta_2} = A_{\theta_2 + \theta_1} = A_{\theta_2} \cdot A_{\theta_1}, deci grupul este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.