MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitate
Fie f(x)=∫1xt2+1tdtf(x) = \int_1^x \frac{t^2 + 1}{t} dt. Determinați punctele de extrem local ale funcției ff și calculați f(2)f(2).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Calculăm integrala: f(x)=∫1xt2+1tdt=∫1x(t+1t)dt=[t22+ln⁡∣t∣]1x=x22+ln⁡∣x∣−(12+ln⁡1)=x22+ln⁡∣x∣−12f(x) = \int_1^x \frac{t^2 + 1}{t} dt = \int_1^x (t + \frac{1}{t}) dt = \left[ \frac{t^2}{2} + \ln|t| \right]_1^x = \frac{x^2}{2} + \ln|x| - \left( \frac{1}{2} + \ln 1 \right) = \frac{x^2}{2} + \ln|x| - \frac{1}{2}, pentru x>0x > 0 (domeniul natural din integrală).
23 puncte
Derivata funcției: f′(x)=x+1xf'(x) = x + \frac{1}{x} pentru x>0x > 0.
31 punct
Studiem semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru toate x>0x > 0, deci funcția ff este strict crescătoare pe (0,∞)(0, \infty).
42 puncte
Deoarece ff este strict crescătoare, nu are puncte de extrem local. Calculăm f(2)=222+ln⁡2−12=2+ln⁡2−0.5=1.5+ln⁡2f(2) = \frac{2^2}{2} + \ln 2 - \frac{1}{2} = 2 + \ln 2 - 0.5 = 1.5 + \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.