MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere ComplexeLegi de compoziție
Fie mulțimea C\mathbb{C} a numerelor complexe cu operațiile uzuale de adunare și înmulțire. Demonstrați că (C,+,⋅)(\mathbb{C}, +, \cdot) este un corp. Apoi, considerați submulțimea B={a+bi∣a,b∈Z}B = \{a+bi \mid a, b \in \mathbb{Z}\}. Verificați dacă (B,+,⋅)(B, +, \cdot) este un inel.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Demonstrați că (C,+)(\mathbb{C}, +) este grup abelian: închiderea (suma a două numere complexe este număr complex), asociativitatea (adunarea este asociativă pe R2\mathbb{R}^2), element neutru 0+0i0+0i, invers aditiv pentru orice z=a+biz=a+bi este −a−bi-a-bi.
23 puncte
Demonstrați că (C∖{0},⋅)(\mathbb{C} \setminus \{0\}, \cdot) este grup abelian: închiderea (produsul a două numere complexe nenule este nenul și complex), asociativitatea, element neutru 1+0i1+0i, invers multiplicativ pentru z=a+bi≠0z=a+bi \neq 0 este aa2+b2−ba2+b2i\frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i.
32 puncte
Verificați distributivitatea înmulțirii față de adunare: pentru z1,z2,z3∈Cz_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}, are loc z1⋅(z2+z3)=z1⋅z2+z1⋅z3z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3. Astfel, (C,+,⋅)(\mathbb{C}, +, \cdot) este corp.
42 puncte
Pentru B={a+bi∣a,b∈Z}B = \{a+bi \mid a,b \in \mathbb{Z}\}, verificați că (B,+)(B, +) este subgrup al lui (C,+)(\mathbb{C}, +) (suma a două elemente din BB are părți reale și imaginare întregi) și că înmulțirea este închisă în BB (produsul (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i are coeficienți întregi dacă a,b,c,d∈Za,b,c,d \in \mathbb{Z}). Totuși, nu toate elementele nenule au invers în BB (exemplu: 2+0i∈B2+0i \in B are invers 12∉B\frac{1}{2} \notin B), deci BB este inel comutativ, dar nu corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.