MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorStudiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați că pentru orice funcție integrabilă f:[−a,a]→Rf: [-a,a] \to \mathbb{R}, avem ∫−aaf(x) dx=∫−aaf(−x) dx\int_{-a}^a f(x) \, dx = \int_{-a}^a f(-x) \, dx. Folosiți această proprietate pentru a calcula ∫−11x3+2xx4+1 dx\int_{-1}^1 \frac{x^3 + 2x}{x^4 + 1} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Fie substituția u=−xu = -x. Atunci du=−dxdu = -dx și limitele se schimbă: când x=−ax = -a, u=au = a; când x=ax = a, u=−au = -a. Astfel, ∫−aaf(x) dx=∫a−af(−u)(−du)=∫−aaf(−u) du=∫−aaf(−x) dx\int_{-a}^a f(x) \, dx = \int_{a}^{-a} f(-u) (-du) = \int_{-a}^a f(-u) \, du = \int_{-a}^a f(-x) \, dx.
23 puncte
Pentru g(x)=x3+2xx4+1g(x) = \frac{x^3 + 2x}{x^4 + 1}, calculăm g(−x)=(−x)3+2(−x)(−x)4+1=−x3−2xx4+1=−g(x)g(-x) = \frac{(-x)^3 + 2(-x)}{(-x)^4 + 1} = \frac{-x^3 - 2x}{x^4 + 1} = -g(x), deci gg este funcție impară.
33 puncte
Din proprietatea demonstrată, pentru funcții impare, integrala pe interval simetric este zero: ∫−aag(x) dx=0\int_{-a}^a g(x) \, dx = 0. Prin urmare, ∫−11x3+2xx4+1 dx=0\int_{-1}^1 \frac{x^3 + 2x}{x^4 + 1} \, dx = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.