MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Demonstrați că mulțimea G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} împreună cu operația de înmulțire a numerelor complexe formează un grup. Apoi determinați toate elementele de ordin finit ale acestui grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea închiderii: pentru orice z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, avem ∣z1z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1⋅1=1|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1 \cdot 1 = 1, deci z1z2∈Gz_1 z_2 \in G.
22 puncte
Verificarea asociativității: înmulțirea numerelor complexe este asociativă.
32 puncte
Identitatea: 1∈G1 \in G deoarece ∣1∣=1|1| = 1, și pentru orice z∈Gz \in G, z⋅1=zz \cdot 1 = z.
42 puncte
Inversul: pentru orice z∈Gz \in G, ∣z∣=1|z| = 1, deci z−1=z‾z^{-1} = \overline{z} are ∣z−1∣=∣z‾∣=∣z∣=1|z^{-1}| = |\overline{z}| = |z| = 1, așadar z−1∈Gz^{-1} \in G.
52 puncte
Elementele de ordin finit sunt toate numerele complexe de forma z=cos⁡(2πk/n)+isin⁡(2πk/n)z = \cos(2\pi k / n) + i \sin(2\pi k / n) cu n∈N∗n \in \mathbb{N}^* și k∈{0,1,…,n−1}k \in \{0,1,\dots,n-1\}, adică rădăcinile de ordin nn ale unității.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.