MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația: log⁡2(x2−4x+5)=1log⁡x−2(4)\log_2(x^2 - 4x + 5) = \frac{1}{\log_{x-2}(4)}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție: x2−4x+5>0x^2 - 4x + 5 > 0 (adevărat pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deoarece discriminantul este negativ) și x−2>0x-2 > 0, x−2≠1x-2 \neq 1. Rezultă x>2x > 2 și x≠3x \neq 3.
23 puncte
Folosind proprietatea 1log⁡a(b)=log⁡b(a)\frac{1}{\log_{a}(b)} = \log_{b}(a), ecuația devine log⁡2(x2−4x+5)=log⁡4(x−2)\log_2(x^2 - 4x + 5) = \log_4(x-2).
33 puncte
Schimbarea bazei: log⁡4(x−2)=log⁡2(x−2)log⁡2(4)=log⁡2(x−2)2\log_4(x-2) = \frac{\log_2(x-2)}{\log_2(4)} = \frac{\log_2(x-2)}{2}. Ecuația se scrie log⁡2(x2−4x+5)=12log⁡2(x−2)\log_2(x^2 - 4x + 5) = \frac{1}{2} \log_2(x-2). Aplicând proprietățile logaritmilor, 12log⁡2(x−2)=log⁡2(x−2)\frac{1}{2} \log_2(x-2) = \log_2(\sqrt{x-2}), deci x2−4x+5=x−2x^2 - 4x + 5 = \sqrt{x-2}.
42 puncte
Ridicăm la pătrat: (x2−4x+5)2=x−2(x^2 - 4x + 5)^2 = x-2. Rezolvăm ecuația algebrică și obținem soluțiile x=3x = 3 și x=52x = \frac{5}{2}. Verificăm cu domeniul: x=3x = 3 nu este admisă (deoarece x≠3x \neq 3), iar x=52x = \frac{5}{2} verifică ecuația inițială. Deci soluția este x=52x = \frac{5}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.