MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerați mulțimea numerelor complexe C\mathbb{C} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. a) Demonstrați că C\mathbb{C} este un corp. b) Fie submulțimea R={a+bi∣a,b∈Z}R = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z}\}. Arătați că RR este un inel, dar nu este corp. c) Determinați unitățile inelului RR.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se verifică axiomele corpului pentru C\mathbb{C}: este inel comutativ cu unitate 11, și fiecare z=a+bi≠0z = a + bi \neq 0 are invers aa2+b2−ba2+b2i∈C\frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i \in \mathbb{C}.
24 puncte
Se verifică că RR este subinel al lui C\mathbb{C}: este nevidă, închisă la adunare și înmulțire (suma și produsul a două elemente din RR au părți reale și imaginare întregi), și conține opusele. Nu este corp deoarece există elemente nenule fără invers în RR, de exemplu 2∈R2 \in R, dar inversul său 12∉R\frac{1}{2} \notin R.
33 puncte
Unitățile în RR sunt elementele a+bia + bi cu invers în RR, adică a2+b2=1a^2 + b^2 = 1. Deci a,b∈Za, b \in \mathbb{Z} cu a2+b2=1a^2 + b^2 = 1, rezultă ±1,±i\pm 1, \pm i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.