MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeIdentități algebrice
Fie polinomul P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c cu coeficienți reali. Știind că 1+i1+i este o rădăcină a polinomului și că P(2)=10P(2) = 10, determinați coeficienții a,b,ca, b, c și scrieți polinomul în formă factorizată.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă 1+i1+i este rădăcină, atunci și conjugata sa 1−i1-i este rădăcină. Fie rr a treia rădăcină reală. Atunci P(X)=(X−(1+i))(X−(1−i))(X−r)=(X2−2X+2)(X−r)P(X) = (X - (1+i))(X - (1-i))(X - r) = (X^2 - 2X + 2)(X - r).
24 puncte
Dezvoltând, P(X)=X3−(r+2)X2+(2r+2)X−2rP(X) = X^3 - (r+2)X^2 + (2r+2)X - 2r. Comparând cu P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c, obținem a=−(r+2)a = -(r+2), b=2r+2b = 2r+2, c=−2rc = -2r. Din P(2)=10P(2)=10, avem 8+4a+2b+c=108 + 4a + 2b + c = 10.
33 puncte
Substituind, 8+4(−(r+2))+2(2r+2)+(−2r)=108 + 4(-(r+2)) + 2(2r+2) + (-2r) = 10. Simplificând, 8−4r−8+4r+4−2r=108 -4r -8 +4r+4 -2r = 10, deci −2r+4=10-2r +4 =10, r=−3r = -3. Atunci a=−(−3+2)=1a = -(-3+2) = 1, b=2(−3)+2=−4b = 2(-3)+2 = -4, c=−2(−3)=6c = -2(-3) = 6. Polinomul factorizat este P(X)=(X2−2X+2)(X+3)P(X) = (X^2 - 2X + 2)(X + 3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.