MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 11

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, cu a≠0a \neq 0. Se știe că graficul funcției intersectează axa Ox în punctele AA și BB astfel încât AB=4AB = 4, distanța de la vârful parabolei la axa Ox este egală cu 22, și f(0)=4f(0) = 4. Determinați funcția ff și calculați aria triunghiului VABVAB, unde VV este vârful parabolei.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Din f(0)=4f(0)=4, obținem c=4c=4.
23 puncte
Distanța dintre rădăcinile ecuației f(x)=0f(x)=0 este AB=Δ∣a∣=4AB = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = 4, unde Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. Deci b2−16a=4∣a∣\sqrt{b^2 - 16a} = 4|a| (ecuația 1).
33 puncte
Coordonatele vârfului sunt V(−b2a,−Δ4a)V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right). Distanța de la VV la axa Ox este ∣−Δ4a∣=∣Δ∣4∣a∣=2\left| -\frac{\Delta}{4a} \right| = \frac{|\Delta|}{4|a|} = 2 (ecuația 2).
42 puncte
Notăm d=Δ=b2−16ad = \Delta = b^2 - 16a. Din (1): d=4∣a∣⇒d=16a2\sqrt{d} = 4|a| \Rightarrow d = 16a^2. Din (2): d4∣a∣=2⇒d=8∣a∣\frac{d}{4|a|} = 2 \Rightarrow d = 8|a|. Echivalând: 16a2=8∣a∣16a^2 = 8|a|. Pentru a>0a>0: 16a2=8a⇒2a2=a⇒a(2a−1)=0⇒a=1216a^2 = 8a \Rightarrow 2a^2 = a \Rightarrow a(2a-1)=0 \Rightarrow a=\frac{1}{2} (căci a≠0a \neq 0). Atunci d=8⋅12=4d = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4, deci b2−16⋅12=4⇒b2=12⇒b=±23b^2 - 16 \cdot \frac{1}{2} = 4 \Rightarrow b^2 = 12 \Rightarrow b = \pm 2\sqrt{3}. Pentru a<0a<0: 16a2=8(−a)⇒2a2=−a⇒a(2a+1)=0⇒a=−1216a^2 = 8(-a) \Rightarrow 2a^2 = -a \Rightarrow a(2a+1)=0 \Rightarrow a=-\frac{1}{2}, dar atunci d=8⋅12=4d = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4, și b2−16⋅(−12)=b2+8=4⇒b2=−4b^2 - 16 \cdot (-\frac{1}{2}) = b^2 + 8 = 4 \Rightarrow b^2 = -4, imposibil. Deci a=12a=\frac{1}{2}, b=±23b=\pm 2\sqrt{3}, c=4c=4. Funcția este f(x)=12x2±23x+4f(x)=\frac{1}{2}x^2 \pm 2\sqrt{3}x + 4.
51 punct
Aria triunghiului VABVAB este 12⋅AB⋅∣yV∣=12⋅4⋅2=4\frac{1}{2} \cdot AB \cdot |y_V| = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.