MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorTrigonometrie
Fie f:[a,b]→Rf: [a, b] \to \mathbb{R} o funcție continuă. Demonstrați că ∫abf(x) dx=∫abf(a+b−x) dx\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a+b-x) \, dx. Aplicați această proprietate pentru a calcula ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dx\int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrație: Se face schimbarea de variabilă u=a+b−xu = a+b-x. Atunci du=−dxdu = -dx, iar limitele de integrare devin: când x=ax=a, u=bu=b; când x=bx=b, u=au=a. Astfel, ∫abf(a+b−x) dx=∫baf(u) (−du)=∫abf(u) du=∫abf(x) dx\int_a^b f(a+b-x) \, dx = \int_b^a f(u) \, (-du) = \int_a^b f(u) \, du = \int_a^b f(x) \, dx.
23 puncte
Pentru integrala dată, notăm I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dxI = \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} \, dx. Aplicând proprietatea cu a=0,b=πa=0, b=\pi, avem I=∫0π(π−x)sin⁡(π−x)1+cos⁡2(π−x) dxI = \int_0^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin(\pi - x)}{1+\cos^2(\pi - x)} \, dx. Folosind sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x și cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi - x) = -\cos x, deci cos⁡2(π−x)=cos⁡2x\cos^2(\pi - x) = \cos^2 x, obținem I=∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2x dxI = \int_0^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1+\cos^2 x} \, dx.
33 puncte
Adunăm cele două expresii pentru II: I+I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dx+∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2x dx=∫0ππsin⁡x1+cos⁡2x dxI + I = \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} \, dx + \int_0^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1+\cos^2 x} \, dx = \int_0^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} \, dx. Deci 2I=π∫0πsin⁡x1+cos⁡2x dx2I = \pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} \, dx. Pentru a calcula această integrală, facem schimbarea t=cos⁡xt = \cos x, dt=−sin⁡x dxdt = -\sin x \, dx, cu limitele: când x=0x=0, t=1t=1; când x=πx=\pi, t=−1t=-1. Atunci ∫0πsin⁡x1+cos⁡2x dx=∫1−1−dt1+t2=∫−11dt1+t2=[arctan⁡t]−11=arctan⁡(1)−arctan⁡(−1)=π4−(−π4)=π2\int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} \, dx = \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \int_{-1}^{1} \frac{dt}{1+t^2} = [\arctan t]_{-1}^{1} = \arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}. Așadar, 2I=π⋅π2=π222I = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}, deci I=π24I = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.