MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameIdentități algebrice
Fie polinomul f(x)=x3−3x2+mx+nf(x) = x^3 - 3x^2 + mx + n. Se știe că rădăcinile sale x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 verifică relațiile x1+x2+x3=3x_1 + x_2 + x_3 = 3, x12+x22+x32=5x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 5, și x13+x23+x33=9x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 9. Determinați mm și nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din coeficienții polinomului, folosind formulele lui Viète, avem x1+x2+x3=3x_1 + x_2 + x_3 = 3 (confirmat), x1x2+x2x3+x3x1=mx_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = m, și x1x2x3=−nx_1 x_2 x_3 = -n.
23 puncte
Calculăm x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)=32−2m=9−2mx_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) = 3^2 - 2m = 9 - 2m. Dar se dă că este egal cu 5, deci 9−2m=5⇒2m=4⇒m=29 - 2m = 5 \Rightarrow 2m = 4 \Rightarrow m=2.
33 puncte
Pentru suma cuburilor, folosim identitatea x13+x23+x33=(x1+x2+x3)3−3(x1+x2+x3)(x1x2+x2x3+x3x1)+3x1x2x3x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = (x_1 + x_2 + x_3)^3 - 3(x_1 + x_2 + x_3)(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) + 3x_1 x_2 x_3. Înlocuind, avem 9=33−3⋅3⋅m+3(−n)=27−9m−3n9 = 3^3 - 3\cdot3\cdot m + 3(-n) = 27 - 9m - 3n. Cu m=2m=2, obținem 9=27−18−3n⇒9=9−3n⇒3n=0⇒n=09 = 27 - 18 - 3n \Rightarrow 9 = 9 - 3n \Rightarrow 3n=0 \Rightarrow n=0.
42 puncte
Verificăm: din step 1, x1x2+x2x3+x3x1=m=2x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = m=2 și x1x2x3=−n=0x_1 x_2 x_3 = -n=0. Polinomul devine f(x)=x3−3x2+2xf(x) = x^3 - 3x^2 + 2x.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.