MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡4(y)=3xlog⁡2(y)=16\begin{cases} \log_2(x) + \log_4(y) = 3 \\ x^{\log_2(y)} = 16 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Stabiliți condițiile de existență: x>0x > 0, y>0y > 0, și y≠1y \neq 1 pentru bazele logaritmilor. \n
23 puncte
Transformați log⁡4(y)\log_4(y) la baza 2: log⁡4(y)=log⁡2(y)log⁡2(4)=log⁡2(y)2\log_4(y) = \frac{\log_2(y)}{\log_2(4)} = \frac{\log_2(y)}{2}. Prima ecuație devine: log⁡2(x)+12log⁡2(y)=3\log_2(x) + \frac{1}{2} \log_2(y) = 3. \n
33 puncte
Din prima ecuație, log⁡2(xy)=3\log_2(x \sqrt{y}) = 3, deci xy=8x \sqrt{y} = 8. Notați t=log⁡2(y)t = \log_2(y), atunci y=2ty = 2^t și log⁡2(x)=3−t2\log_2(x) = 3 - \frac{t}{2}, deci x=23−t/2x = 2^{3 - t/2}. Substituiți în a doua ecuație: xlog⁡2(y)=(23−t/2)t=2t(3−t/2)=16=24x^{\log_2(y)} = (2^{3 - t/2})^t = 2^{t(3 - t/2)} = 16 = 2^4, obținând t(3−t/2)=4t(3 - t/2) = 4, adică t2−6t+8=0t^2 - 6t + 8 = 0. \n
42 puncte
Rezolvați ecuația: t=2t = 2 sau t=4t = 4. Pentru t=2t=2, y=4y=4 și x=4x=4; pentru t=4t=4, y=16y=16 și x=2x=2. Verificați că ambele perechi (x,y)(x,y) satisfac condițiile de existență.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.