MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați că pentru orice numere reale pozitive aa, bb, cc, cu a≠1a \neq 1, b≠1b \neq 1, c≠1c \neq 1, are loc inegalitatea: log⁡ablog⁡ca+log⁡bclog⁡ab+log⁡calog⁡bc≥3\frac{\log_a b}{\log_c a} + \frac{\log_b c}{\log_a b} + \frac{\log_c a}{\log_b c} \geq 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm x=log⁡abx = \log_a b, y=log⁡bcy = \log_b c, z=log⁡caz = \log_c a și observăm că x⋅y⋅z=log⁡ab⋅log⁡bc⋅log⁡ca=1x \cdot y \cdot z = \log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = 1. Expresia devine xz+yx+zy\frac{x}{z} + \frac{y}{x} + \frac{z}{y}.
24 puncte
Aplicăm inegalitatea mediilor (AM-GM): xz+yx+zy≥3xz⋅yx⋅zy3=313=3\frac{x}{z} + \frac{y}{x} + \frac{z}{y} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{x}{z} \cdot \frac{y}{x} \cdot \frac{z}{y}} = 3 \sqrt[3]{1} = 3.
33 puncte
Egalitatea are loc când xz=yx=zy\frac{x}{z} = \frac{y}{x} = \frac{z}{y}, adică x=y=zx=y=z, iar din xyz=1xyz=1 rezultă x=y=z=1x=y=z=1, ceea ce implică a=b=ca=b=c.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.