MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteTrigonometrie
Se dau funcțiile f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x și g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x pe intervalul [0,π2][0, \frac{\pi}{2}]. Folosind proprietățile integralelor, calculați ∫0π2(f(x)+g(x))2 dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (f(x) + g(x))^2 \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Expandăm (f(x)+g(x))2=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=1+sin⁡2x(f(x) + g(x))^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x.
23 puncte
Folosind liniaritatea integralei, ∫0π2(1+sin⁡2x) dx=∫0π21 dx+∫0π2sin⁡2x dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \sin 2x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \, dx.
33 puncte
Calculăm ∫0π21 dx=π2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \frac{\pi}{2} și ∫0π2sin⁡2x dx=[−12cos⁡2x]0π2=−12cos⁡π+12cos⁡0=12+12=1\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \, dx = \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2} \cos \pi + \frac{1}{2} \cos 0 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1. Rezultatul final este π2+1\frac{\pi}{2} + 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.