MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaGeometrie Analitică
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}, a≠0a \neq 0. Știind că f(1)=2f(1) = 2, f(−1)=4f(-1) = 4 și că punctul de extrem al graficului funcției este pe dreapta y=x+1y = x + 1, determinați funcția ff.

Rezolvare completă

13 puncte · 10 pași
12 puncte
Scriem condițiile date: f(1)=a+b+c=2f(1) = a + b + c = 2 și f(−1)=a−b+c=4f(-1) = a - b + c = 4.
22 puncte
Abscisa vârfului parabolei este xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a}. Ordonata vârfului este yv=f(xv)y_v = f(x_v).
32 puncte
Punctul de extrem (xv,yv)(x_v, y_v) se află pe dreapta y=x+1y = x + 1, deci yv=xv+1y_v = x_v + 1, adică f(xv)=xv+1f(x_v) = x_v + 1.
42 puncte
Din ecuațiile de la step 1, scăzând, obținem 2b=−22b = -2, deci b=−1b = -1. Apoi, adunând, 2a+2c=62a + 2c = 6, deci a+c=3a + c = 3.
51 punct
Înlocuim b=−1b = -1 în expresia lui xvx_v: xv=−−12a=12ax_v = -\frac{-1}{2a} = \frac{1}{2a}. Ecuația de la step 3 devine: a(12a)2−1⋅12a+c=12a+1a\left(\frac{1}{2a}\right)^2 - 1\cdot\frac{1}{2a} + c = \frac{1}{2a} + 1.
61 punct
Simplificăm ecuația: a4a2−12a+c=12a+1\frac{a}{4a^2} - \frac{1}{2a} + c = \frac{1}{2a} + 1, adică 14a−12a+c=12a+1\frac{1}{4a} - \frac{1}{2a} + c = \frac{1}{2a} + 1, deci −14a+c=12a+1-\frac{1}{4a} + c = \frac{1}{2a} + 1.
71 punct
Avem sistemul: a+c=3a + c = 3 și −14a+c=12a+1-\frac{1}{4a} + c = \frac{1}{2a} + 1. Din prima, c=3−ac = 3 - a. Înlocuim în a doua: −14a+3−a=12a+1-\frac{1}{4a} + 3 - a = \frac{1}{2a} + 1.
81 punct
Rezolvăm: 3−a−1=12a+14a3 - a - 1 = \frac{1}{2a} + \frac{1}{4a}, deci 2−a=34a2 - a = \frac{3}{4a}. Înmulțim cu 4a4a: 8a−4a2=38a - 4a^2 = 3, deci 4a2−8a+3=04a^2 - 8a + 3 = 0.
91 punct
Ecuația are soluțiile a=12a = \frac{1}{2} sau a=32a = \frac{3}{2}. Atunci c=3−ac = 3 - a, deci pentru a=12a = \frac{1}{2}, c=52c = \frac{5}{2}, iar pentru a=32a = \frac{3}{2}, c=32c = \frac{3}{2}. Funcțiile sunt f(x)=12x2−x+52f(x) = \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{5}{2} și f(x)=32x2−x+32f(x) = \frac{3}{2}x^2 - x + \frac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.