MediuMatematică aplicatăClasa 10

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăProgresii GeometriceEcuații logaritmice
Pentru a controla creșterea unei populații de bacterii, un biologist aplică un medicament care reduce numărul de bacterii după legea B(t)=B0⋅e−ktB(t) = B_0 \cdot e^{-kt}, unde B0=10000B_0 = 10000 este numărul inițial, k=0.1k = 0.1 este constanta de scădere, iar tt este timpul în ore. Determinați timpul necesar pentru ca numărul de bacterii să scadă la 1000. Apoi, considerați că scăderea poate fi aproximată printr-o progresie geometrică cu rația q=e−0.1q = e^{-0.1}, calculând suma bacterii eliminate în primele 5 ore, presupunând că la fiecare oră se numără bacterii eliminate ca diferența între termenii progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se rezolvă ecuația 1000=10000⋅e−0.1t1000 = 10000 \cdot e^{-0.1t}. Simplificând: 0.1=e−0.1t0.1 = e^{-0.1t}. Aplicând logaritmul natural: ln⁡(0.1)=−0.1t\ln(0.1) = -0.1t, deci t=−ln⁡(0.1)0.1=ln⁡(10)0.1≈2.30260.1=23.026t = -\frac{\ln(0.1)}{0.1} = \frac{\ln(10)}{0.1} \approx \frac{2.3026}{0.1} = 23.026 ore.
23 puncte
Progresia geometrică are primul termen a1=B0=10000a_1 = B_0 = 10000 și rația q=e−0.1≈0.9048q = e^{-0.1} \approx 0.9048. Numărul de bacterii la orele 0,1,2,3,4 este dat de an=10000⋅(0.9048)n−1a_n = 10000 \cdot (0.9048)^{n-1}. Bacteriile eliminate între ore sunt diferențele: E1=a1−a2E_1 = a_1 - a_2, E2=a2−a3E_2 = a_2 - a_3, etc.
33 puncte
Suma bacteriilor eliminate în primele 5 ore este S=(a1−a2)+(a2−a3)+(a3−a4)+(a4−a5)+(a5−a6)=a1−a6S = (a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + (a_3 - a_4) + (a_4 - a_5) + (a_5 - a_6) = a_1 - a_6, unde a6=10000⋅(0.9048)5≈10000⋅0.6065=6065a_6 = 10000 \cdot (0.9048)^5 \approx 10000 \cdot 0.6065 = 6065. Deci S≈10000−6065=3935S \approx 10000 - 6065 = 3935 bacterii eliminate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.