MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciLegi de compoziție
Fie mulțimea S={A∈M2(R)∣A=(ab01),a∈R∗,b∈R}S = \left\{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R} \right\} și operația ⋅\cdot fiind înmulțirea matricelor. Demonstrați că (S,⋅)(S, \cdot) formează un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificați închiderea: Pentru orice A,B∈SA, B \in S, cu A=(ab01)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, B=(cd01)B = \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, atunci A⋅B=(acad+b01)A \cdot B = \begin{pmatrix} ac & ad + b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Deoarece a,c≠0a, c \neq 0, avem ac≠0ac \neq 0, deci A⋅B∈SA \cdot B \in S.
22 puncte
Asociativitatea: Înmulțirea matricelor este asociativă, deci pentru orice A,B,C∈SA, B, C \in S, (A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C).
32 puncte
Identitatea: Matricea I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} este în SS (cu a=1,b=0a=1, b=0), și pentru orice A∈SA \in S, A⋅I=I⋅A=AA \cdot I = I \cdot A = A.
42 puncte
Inversul: Pentru orice A=(ab01)∈SA = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in S, cu a≠0a \neq 0, inversa este A−1=(1/a−b/a01)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/a & -b/a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Verificăm că A⋅A−1=A−1⋅A=IA \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I și 1/a≠01/a \neq 0, deci A−1∈SA^{-1} \in S.
52 puncte
Concluzie: Toate axiomele unui grup sunt satisfăcute, deci (S,⋅)(S, \cdot) este un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.