MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G={(a,b)∣a,b∈R,a≠0}G = \{ (a,b) \mid a,b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \} și legea de compoziție ∗* definită prin (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) * (c,d) = (ac, ad + b). a) Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup. b) Rezolvați în GG ecuația (2,3)∗x=(4,5)(2,3) * x = (4,5).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se verifică închiderea: pentru orice (a,b),(c,d)∈G(a,b), (c,d) \in G, avem a≠0a \neq 0 și c≠0c \neq 0, deci ac≠0ac \neq 0, astfel (ac,ad+b)∈G(ac, ad+b) \in G.
23 puncte
Se verifică asociativitatea: ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(ac,ad+b)∗(e,f)=(ace,acf+ad+b)((a,b)*(c,d))*(e,f) = (ac, ad+b)*(e,f) = (ace, acf + ad+b) și (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)(a,b)*((c,d)*(e,f)) = (a,b)*(ce, cf+d) = (ace, a(cf+d)+b) = (ace, acf + ad+b), deci operația este asociativă.
32 puncte
Se determină elementul neutru: fie (e1,e2)(e_1,e_2) astfel încât (a,b)∗(e1,e2)=(a,b)(a,b)*(e_1,e_2) = (a,b). Rezultă ae1=aae_1 = a și ae2+b=bae_2 + b = b, deci e1=1e_1=1 și e2=0e_2=0. Verificăm că (1,0)∗(a,b)=(a,b)(1,0)*(a,b) = (a,b), deci (1,0)(1,0) este elementul neutru.
42 puncte
Se găsește inversul fiecărui element: pentru (a,b)∈G(a,b) \in G, căutăm (c,d)(c,d) cu (a,b)∗(c,d)=(1,0)(a,b)*(c,d) = (1,0). Din ac=1ac=1 și ad+b=0ad+b=0 obținem c=1/ac=1/a și d=−b/ad=-b/a, iar (1/a,−b/a)∈G(1/a, -b/a) \in G deoarece 1/a≠01/a \neq 0.
51 punct
Se rezolvă ecuația: fie x=(c,d)x=(c,d), atunci (2,3)∗(c,d)=(4,5)(2,3)*(c,d)=(4,5) implică 2c=42c=4 și 2d+3=52d+3=5, deci c=2c=2, d=1d=1. Verificăm că (2,1)∈G(2,1) \in G, deci soluția este x=(2,1)x=(2,1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.