MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteTrigonometrie
Demonstrați că pentru orice funcție integrabilă ff pe intervalul [a,b][a,b], are loc egalitatea ∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx. Apoi, folosiți această proprietate pentru a calcula integrala ∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
15 puncte
Demonstrarea proprietății. Considerăm schimbarea de variabilă t=a+b−xt = a+b-x. Atunci dx=−dtdx = -dt, iar limitele devin: pentru x=ax=a, t=bt=b; pentru x=bx=b, t=at=a. Astfel, ∫abf(x)dx=∫abf(a+b−t)(−dt)=∫baf(a+b−t)(−dt)=∫abf(a+b−t)dt\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-t) (-dt) = \int_{b}^{a} f(a+b-t) (-dt) = \int_{a}^{b} f(a+b-t) dt. Renotând variabila, avem ∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx.
22 puncte
Aplicăm proprietatea pentru cazul particular. Pentru a=0a=0, b=π2b=\frac{\pi}{2} și f(x)=sin⁡xsin⁡x+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}, obținem că ∫0π/2f(x)dx=∫0π/2f(π2−x)dx\int_{0}^{\pi/2} f(x) dx = \int_{0}^{\pi/2} f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) dx.
33 puncte
Calculăm f(π2−x)=sin⁡(π2−x)sin⁡(π2−x)+cos⁡(π2−x)=cos⁡xcos⁡x+sin⁡xf\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} = \frac{\cos x}{\cos x + \sin x}. Notăm I=∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdxI = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx. Atunci din pasul anterior, I=∫0π/2cos⁡xcos⁡x+sin⁡xdxI = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} dx. Adunând aceste două egalități, avem 2I=∫0π/2(sin⁡xsin⁡x+cos⁡x+cos⁡xcos⁡x+sin⁡x)dx=∫0π/2sin⁡x+cos⁡xsin⁡x+cos⁡xdx=∫0π/21dx=π22I = \int_{0}^{\pi/2} \left( \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} + \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \right) dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int_{0}^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}. Deci I=π4I = \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.