MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie GG mulțimea matricelor de forma (ab01)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} cu a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} și a≠0a \neq 0, înzestrată cu înmulțirea matricelor. Arătați că GG este un grup. Rezolvați în GG ecuația X2=I2X^2 = I_2, unde I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea închiderii: fie A=(ab01)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B=(cd01)B = \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix} din GG, cu a,c≠0a,c \neq 0. Atunci A⋅B=(acad+b01)A \cdot B = \begin{pmatrix} ac & ad + b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, și ac≠0ac \neq 0, deci A⋅B∈GA \cdot B \in G.
21 punct
Verificarea asociativității: înmulțirea matricelor este asociativă, deci pentru orice A,B,C∈GA, B, C \in G, (A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C).
32 puncte
Verificarea elementului neutru: matricea I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} este în GG deoarece 1≠01 \neq 0, și pentru orice A∈GA \in G, A⋅I=I⋅A=AA \cdot I = I \cdot A = A.
42 puncte
Verificarea inverselor: pentru A=(ab01)∈GA = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G, inversa este A−1=(1a−ba01)A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{b}{a} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, care este în GG deoarece 1a≠0\frac{1}{a} \neq 0.
53 puncte
Rezolvarea ecuației X2=I2X^2 = I_2: fie X=(ab01)∈GX = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G. Atunci X2=(a2ab+b01)X^2 = \begin{pmatrix} a^2 & ab + b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Ecuația X2=I2X^2 = I_2 devine (a2ab+b01)=(1001)\begin{pmatrix} a^2 & ab + b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, deci a2=1a^2 = 1 și ab+b=0ab + b = 0. Din a2=1a^2 = 1 și a≠0a \neq 0, avem a=1a = 1 sau a=−1a = -1. Pentru a=1a=1, ecuația ab+b=b+b=2b=0ab + b = b + b = 2b = 0 implică b=0b=0. Pentru a=−1a=-1, ecuația ab+b=−b+b=0ab + b = -b + b = 0 este satisfăcută pentru orice b∈Rb \in \mathbb{R}. Astfel, soluțiile sunt X=(1001)X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și X=(−1b01)X = \begin{pmatrix} -1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} pentru orice b∈Rb \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.