MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatrici
Considerați mulțimea M={(1a01)∣a∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid a \in \mathbb{R} \right\} cu operația de înmulțire a matricelor. Demonstrați că (M,⋅)(M, \cdot) este un grup. Apoi arătați că submulțimea H={(1n01)∣n∈Z}H = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid n \in \mathbb{Z} \right\} este un subgrup al lui MM.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Verificăm închiderea pentru MM: pentru orice A=(1a01),B=(1b01)∈MA = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M, calculăm A⋅B=(1a+b01)A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & a+b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, deoarece (1a01)(1b01)=(1⋅1+a⋅01⋅b+a⋅10⋅1+1⋅00⋅b+1⋅1)=(1a+b01)\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + a \cdot 0 & 1 \cdot b + a \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot b + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a+b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Cum a+b∈Ra+b \in \mathbb{R}, avem A⋅B∈MA \cdot B \in M.\n
21 punct
Asociativitatea pentru MM este moștenită de la înmulțirea matricelor, care este asociativă.\n
32 puncte
Elementul neutru în MM este matricea I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, care aparține lui MM pentru a=0a=0, și pentru orice A∈MA \in M, A⋅I=I⋅A=AA \cdot I = I \cdot A = A.\n
42 puncte
Pentru orice A=(1a01)∈MA = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M, inversul este A−1=(1−a01)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, deoarece (1a01)(1−a01)=(1001)\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Cum −a∈R-a \in \mathbb{R}, A−1∈MA^{-1} \in M.\n
51 punct
Concluzie: (M,⋅)(M, \cdot) satisface axiomele grupului, deci este un grup.\n
62 puncte
Arătăm că HH este subgrup: este nevidă (pentru n=0n=0, (1001)∈H\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in H), închisă la înmulțire (pentru C=(1m01),D=(1n01)∈HC = \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in H, C⋅D=(1m+n01)C \cdot D = \begin{pmatrix} 1 & m+n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} cu m+n∈Zm+n \in \mathbb{Z}), și conține inversele (pentru C∈HC \in H, C−1=(1−n01)C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} cu −n∈Z-n \in \mathbb{Z}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.