MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteArii și volume
Se consideră funcția f:[0,2]→Rf:[0,2] \to \mathbb{R}, f(x)=x2−1f(x)=x^2 - 1. Calculați ∫02∣f(x)∣ dx\int_{0}^{2} |f(x)| \, dx folosind proprietăți ale integralelor definite.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se rezolvă ecuația x2−1=0x^2 - 1 = 0 pe intervalul [0,2][0,2], obținând x=1x=1. Se observă că pentru x∈[0,1]x \in [0,1], f(x)≤0f(x) \leq 0, iar pentru x∈[1,2]x \in [1,2], f(x)≥0f(x) \geq 0.
22 puncte
Folosind aditivitatea integralei față de interval, se scrie: ∫02∣f(x)∣ dx=∫01∣f(x)∣ dx+∫12∣f(x)∣ dx\int_{0}^{2} |f(x)| \, dx = \int_{0}^{1} |f(x)| \, dx + \int_{1}^{2} |f(x)| \, dx.
32 puncte
Pe intervalul [0,1][0,1], ∣f(x)∣=−f(x)=1−x2|f(x)| = -f(x) = 1 - x^2; pe intervalul [1,2][1,2], ∣f(x)∣=f(x)=x2−1|f(x)| = f(x) = x^2 - 1.
42 puncte
Se calculează integralele: ∫01(1−x2) dx=[x−x33]01=1−13=23\int_{0}^{1} (1-x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}; ∫12(x2−1) dx=[x33−x]12=(83−2)−(13−1)=23−(−23)=43\int_{1}^{2} (x^2-1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{1}^{2} = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}.
52 puncte
Se adună rezultatele: 23+43=63=2\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2. Deci ∫02∣f(x)∣ dx=2\int_{0}^{2} |f(x)| \, dx = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.