MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteStudiul funcțiilor
Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} o funcție continuă și impară. Arătați că pentru orice a>0a > 0, ∫−aaf(x)dx=0\int_{-a}^a f(x) dx = 0 și deduceți că ∫−aaxf(x2)dx=0\int_{-a}^a x f(x^2) dx = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
15 puncte
Pentru funcția impară ff, avem f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x). Calculăm ∫−aaf(x)dx=∫−a0f(x)dx+∫0af(x)dx\int_{-a}^a f(x) dx = \int_{-a}^0 f(x) dx + \int_0^a f(x) dx. În integrala ∫−a0f(x)dx\int_{-a}^0 f(x) dx facem schimbarea de variabilă x=−tx = -t, obținem ∫−a0f(x)dx=∫a0f(−t)(−dt)=∫a0−f(t)(−dt)=∫a0f(t)dt=−∫0af(t)dt\int_{-a}^0 f(x) dx = \int_{a}^0 f(-t) (-dt) = \int_{a}^0 -f(t) (-dt) = \int_{a}^0 f(t) dt = -\int_0^a f(t) dt. Astfel, ∫−aaf(x)dx=−∫0af(t)dt+∫0af(x)dx=0\int_{-a}^a f(x) dx = -\int_0^a f(t) dt + \int_0^a f(x) dx = 0.
23 puncte
Considerăm funcția g(x)=xf(x2)g(x) = x f(x^2). Verificăm că gg este impară: g(−x)=(−x)f((−x)2)=−xf(x2)=−g(x)g(-x) = (-x) f((-x)^2) = -x f(x^2) = -g(x).
32 puncte
Deoarece gg este impară și continuă, aplicând rezultatul de la step 1, avem ∫−aag(x)dx=0\int_{-a}^a g(x) dx = 0, adică ∫−aaxf(x2)dx=0\int_{-a}^a x f(x^2) dx = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.