MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați polinomul P(X)P(X) de gradul al treilea care îndeplinește condițiile: P(1)=2P(1)=2, P(2)=4P(2)=4, P(3)=6P(3)=6, iar restul împărțirii lui P(X)P(X) la (X−1)(X−2)(X-1)(X-2) este 2X−12X-1.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Scriem P(X)P(X) ca polinom de gradul 3 cu coeficienți necunoscuți: P(X)=aX3+bX2+cX+dP(X) = aX^3 + bX^2 + cX + d, cu a≠0a \neq 0.
22 puncte
Din condițiile P(1)=2P(1)=2, P(2)=4P(2)=4, P(3)=6P(3)=6, obținem sistemul: a+b+c+d=2a+b+c+d=2, 8a+4b+2c+d=48a+4b+2c+d=4, 27a+9b+3c+d=627a+9b+3c+d=6.
33 puncte
Folosim teorema împărțirii cu rest: P(X)=(X−1)(X−2)Q(X)+(2X−1)P(X) = (X-1)(X-2)Q(X) + (2X-1). Deoarece P(X)P(X) este de grad 3, Q(X)Q(X) este de grad 1. Fie Q(X)=mX+nQ(X) = mX + n. Atunci P(X)=(X2−3X+2)(mX+n)+(2X−1)P(X) = (X^2 - 3X + 2)(mX + n) + (2X-1).
43 puncte
Dezvoltăm și identificăm coeficienții cu forma generală a lui P(X)P(X). Comparând termenii, obținem m=am=a, n−3m=bn-3m=b, 2m−3n+2=c2m-3n+2=c, și 2n−1=d2n-1=d. Rezolvăm sistemul format din aceste ecuații și cele de la step 2, găsind a=1a=1, b=−3b=-3, c=3c=3, d=1d=1.
51 punct
Polinomul căutat este P(X)=X3−3X2+3X+1P(X) = X^3 - 3X^2 + 3X + 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.