MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea R={a+b3∣a,b∈Z}R = \{a + b\sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire a numerelor reale. Demonstrați că (R,+,⋅)(R, +, \cdot) este un inel comutativ cu unitate. Este RR un corp? Justificați răspunsul. Considerați polinomul f(x)=x2−3f(x) = x^2 - 3 peste Q\mathbb{Q}. Arătați că inelul RR este izomorf cu inelul cât Z[x]/⟨x2−3⟩\mathbb{Z}[x] / \langle x^2 - 3 \rangle.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificăm axiomele inelului. Adunarea pe RR este asociativă, comutativă, are element neutru 0=0+030 = 0 + 0\sqrt{3}, și fiecare element a+b3a + b\sqrt{3} are opusul −a−b3-a - b\sqrt{3}. Înmulțirea este asociativă, comutativă, distributivă față de adunare, și are element neutru 1=1+031 = 1 + 0\sqrt{3}.
23 puncte
RR nu este corp deoarece nu toate elementele nenule au invers în RR. De exemplu, 2∈R2 \in R este nenul, dar inversul său 12\frac{1}{2} nu aparține lui RR, deoarece 12∉Z\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}.
34 puncte
Definim aplicația φ:Z[x]→R\varphi: \mathbb{Z}[x] \to R prin φ(g(x))=g(3)\varphi(g(x)) = g(\sqrt{3}). Aceasta este un morfism de inele surjectiv. Nucleul său este ker⁡(φ)={g(x)∈Z[x]∣g(3)=0}=⟨x2−3⟩\ker(\varphi) = \{ g(x) \in \mathbb{Z}[x] \mid g(\sqrt{3}) = 0 \} = \langle x^2 - 3 \rangle, deoarece x2−3x^2 - 3 este polinomul minimal al lui 3\sqrt{3} peste Z\mathbb{Z}. Prin teorema fundamentală de izomorfism, Z[x]/⟨x2−3⟩≅R\mathbb{Z}[x] / \langle x^2 - 3 \rangle \cong R.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.