MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaPolinoame
Fie funcția f(x)=x2+px+qf(x) = x^2 + px + q. Determinați p,q∈Rp, q \in \mathbb{R} astfel încât funcția să aibă minimul egal cu 2 și rădăcinile să verifice x12+x22=10x_1^2 + x_2^2 = 10.

Rezolvare completă

13 puncte · 8 pași
13 puncte
Minimul funcției de gradul al II-lea se realizează în vârf. Pentru f(x)=x2+px+qf(x) = x^2 + px + q, vârful are abscisa xv=−p2x_v = -\frac{p}{2} și valoarea minimă este yv=f(xv)=(−p2)2+p(−p2)+q=p24−p22+q=q−p24y_v = f(x_v) = \left(-\frac{p}{2}\right)^2 + p\left(-\frac{p}{2}\right) + q = \frac{p^2}{4} - \frac{p^2}{2} + q = q - \frac{p^2}{4}. Condiția este q−p24=2q - \frac{p^2}{4} = 2.
23 puncte
Fie x1x_1 și x2x_2 rădăcinile ecuației f(x)=0f(x)=0. Din relațiile lui Viète, x1+x2=−px_1 + x_2 = -p și x1x2=qx_1 x_2 = q. Suma pătratelor rădăcinilor: x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=p2−2qx_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = p^2 - 2q. Condiția este p2−2q=10p^2 - 2q = 10.
32 puncte
Avem sistemul de ecuații: q−p24=2q - \frac{p^2}{4} = 2 și p2−2q=10p^2 - 2q = 10.
41 punct
Din prima ecuație, exprimăm qq: q=2+p24q = 2 + \frac{p^2}{4}.
51 punct
Înlocuim în a doua ecuație: p2−2(2+p24)=10p^2 - 2\left(2 + \frac{p^2}{4}\right) = 10, adică p2−4−p22=10p^2 - 4 - \frac{p^2}{2} = 10.
61 punct
Simplificăm: p22−4=10\frac{p^2}{2} - 4 = 10, deci p22=14\frac{p^2}{2} = 14, p2=28p^2 = 28, și p=±27p = \pm 2\sqrt{7}.
71 punct
Pentru p=27p = 2\sqrt{7}, q=2+(27)24=2+284=2+7=9q = 2 + \frac{(2\sqrt{7})^2}{4} = 2 + \frac{28}{4} = 2 + 7 = 9. Pentru p=−27p = -2\sqrt{7}, q=2+(−27)24=2+7=9q = 2 + \frac{(-2\sqrt{7})^2}{4} = 2 + 7 = 9.
81 punct
Soluțiile sunt p=27,q=9p = 2\sqrt{7}, q = 9 și p=−27,q=9p = -2\sqrt{7}, q = 9. Funcțiile corespunzătoare sunt f(x)=x2+27x+9f(x) = x^2 + 2\sqrt{7}x + 9 și f(x)=x2−27x+9f(x) = x^2 - 2\sqrt{7}x + 9.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.