MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciTrigonometrie
Se consideră mulțimea H={(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)∣θ∈R}H = \left\{ \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \mid \theta \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (H,⋅)(H, \cdot) este un grup comutativ, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Verificarea închiderii: fie A,B∈HA, B \in H cu A=(cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α)A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} și B=(cos⁡β−sin⁡βsin⁡βcos⁡β)B = \begin{pmatrix} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{pmatrix}. Atunci A⋅B=(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β−cos⁡αsin⁡β−sin⁡αcos⁡βsin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β−sin⁡αsin⁡β+cos⁡αcos⁡β)=(cos⁡(α+β)−sin⁡(α+β)sin⁡(α+β)cos⁡(α+β))∈HA \cdot B = \begin{pmatrix} \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta & -\cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta \\ \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix} \in H.
22 puncte
Asociativitatea: înmulțirea matricilor este asociativă, deci pentru orice A,B,C∈HA, B, C \in H, (A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C).
32 puncte
Elementul neutru: matricea identitate I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} corespunde la θ=0\theta = 0, deci I∈HI \in H și pentru orice A∈HA \in H, A⋅I=AA \cdot I = A.
42 puncte
Elementul invers: pentru A=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)∈HA = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \in H, inversa este A−1=(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)=(cos⁡(−θ)−sin⁡(−θ)sin⁡(−θ)cos⁡(−θ))∈HA^{-1} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(-\theta) & -\sin(-\theta) \\ \sin(-\theta) & \cos(-\theta) \end{pmatrix} \in H și A⋅A−1=IA \cdot A^{-1} = I.
51 punct
Comutativitatea: pentru orice A,B∈HA, B \in H ca mai sus, A⋅B=(cos⁡(α+β)−sin⁡(α+β)sin⁡(α+β)cos⁡(α+β))=B⋅AA \cdot B = \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix} = B \cdot A, deci grupul este comutativ.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.