MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡4(y)=4x⋅y=64\begin{cases} \log_2(x) + \log_4(y) = 4 \\ x \cdot y = 64 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se determină domeniul: x>0x>0 și y>0y>0.
23 puncte
Se schimbă baza logaritmului: log⁡4(y)=log⁡2(y)2\log_4(y) = \frac{\log_2(y)}{2}.
33 puncte
Se înlocuiește în prima ecuație: log⁡2(x)+12log⁡2(y)=4\log_2(x) + \frac{1}{2} \log_2(y) = 4, deci log⁡2(xy)=4\log_2(x \sqrt{y}) = 4, așadar xy=16x \sqrt{y} = 16.
42 puncte
Din a doua ecuație, y=64xy = \frac{64}{x}. Înlocuim: x64x=16x \sqrt{\frac{64}{x}} = 16, adică x⋅8x=16x \cdot \frac{8}{\sqrt{x}} = 16, deci 8x=168 \sqrt{x} = 16, x=2\sqrt{x}=2, x=4x=4. Atunci y=16y=16. Se verifică că soluția satisface domeniul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.